<p><font size="2">∫[0→π]cos(4θ)/(1+cos²θ)dθ<br><br>の値を求めよ。<br><br>cos(2θ)=2cos²θ-1<br>1+cos(2θ)=2cos²θ<br>より、<br><br>3+cos(2θ)=2+2cos²θ<br><br>与式=<br>2∫[0→π]cos(4θ)/(2+2cos²θ)dθ<br>=2∫[0→π]cos(4θ)/(3+cos2θ)dθ<br><br>とします。<br><br>2θ=x<br>dx=2dθ<br>dθ=(1/2)dx<br>として<br>与式=∫[0→2π]cos(2x)/(3+cosx)dx<br><br><br>ここで、<br>cosx=(1/2)(e^ix+e^-ix)=(1/2)(z+1/z)<br>cos(2x)=(1/2)(e^(2ix)+e^(-2ix))=(1/2)(z²+1/z²)<br>として複素積分を実行します。<br><br>z=e^(ix)<br>dz/dx=ie^(ix)=iz<br>dx=1/(iz) dz<br><br>C:|z|=1<br><br>∫[0→2π]cos(2x)/(3+cosx)dx<br>は、<br>∮[C](1/2)(z²+1/z²)/(3+(1/2)(z+1/z))iz dz<br>=-i∮[C](z²+1/z²)/(6z+z²+1) dz<br>=-i∮[C](z⁴+1)/{z²(z²+6z+1)}dz<br><br><br>⑴ ∮[C]z⁴/{z²(z²+6z+1)}dz<br><br>⑵ ∮[C]1/{z²(z²+6z+1)}dz<br><br>にわけて計算します。<br><br>⑴について<br>∮[C]z²/(z²+6z+1)dz<br><br>f(z)=z²/(z²+6z+1)<br>の積分領域内Cの極は、z=-3+2√2<br>だから、<br>留数定理より、<br>∮f(z)dz=2πiRes(f,-3+2√2)<br><br>Res(f,-3+2√2)<br>=lim[z→-3+2√2](z-(-3-2√2))f(z)<br>=lim[z→-3+2√2]z²/(z+3+2√2)<br>=(17-12√2)/4√2<br>=(-24+17√2)/8<br><br>よって、<br>∮[C]z²/(z²+6z+1)dz=πi(-24+17√2)/4<br><br><br>⑵について<br><br>∮[C]1/{z²(z²+6z+1)}dz<br><br>1/{z²(z²+6z+1)}<br>=(1/z²)-(6/z)+(6z+35)/(z²+6z+1)<br>で<br>|z|=1の中の極は、<br>z=0で、1/z² が２位の極<br>だが、留数は０なので、積分値は０<br><br>-∮(6/z)dz=-12πi<br><br>∮(6z+35)/(z²+6z+1)dz<br>は、<br>(6z+35)/(z²+6z+1)<br>のz=-3+2√2での留数を求めると、<br>(6(-3+2√2)+35)/(4√2)<br>=(24+17√2)/8<br>だから、<br>∮(6z+35)/(z²+6z+1)dz=πi(24+17√2)/4<br><br><br>以上より、<br>πi(-24+17√2)/4+πi(24+17√2)/4-12πi<br>=(-12+17√2/2)πi<br><br>これに-iをかけて</font></p><p><font size="2">(-24+17√2)π/2</font></p><p><span style="font-size: small;">が求める積分値です。</span></p><p><br></p><p>【別解】</p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">∫[0→π]cos(4θ)/(1+cos²θ)dθ</span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">積分範囲 0→πで cosθは0→π/2とπ/2→πで対称だから、</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">与式=2∫[0→π/2]cos(4θ)/(1+cos²θ)dθ</span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">また、cos</span></font><span style="font-size: small; line-height: 15px;">²</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">θとsin</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">²θは、0→π/2で対称だから、</span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">∫[0→π/2]cos(4θ)/(1+cos²θ)dθ=</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">∫[0→π/2]cos(4θ)/(1+sin²θ)dθ</span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">になり、</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">右辺も、 π/2→πに対して、同じ値をとるので、</span></font><span style="line-height: 15px; font-size: small;">結局、</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫[0→π/2]cos(4θ)/(1+cos²θ)dθ=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫[0→π]cos(4θ)/(1+sin²θ)dθ</span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">になる。</span></font></p><p><br></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">そこで、</span></font></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">F=∫[0→π]cos(4θ)/(1+cos²θ)dθ+</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">∫[0→π]cos(4θ)/(1+sin²θ)dθ</span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">を考える。</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">これは、求める積分値の2倍である。</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">F=</span></font><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫[0→π]cos(4θ){1/(1+cos²θ)+1</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(1+sin²θ)}dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫cos(4θ)(1+sin</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">²θ+cos</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">²θ+1)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/{(1+cos²θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">(1+sin²θ)}dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫3cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/{(1+cos²θ</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">+sin²θ+sin</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">²θcos</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">²θ</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">)}dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=∫3cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(2</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">+sin</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">²θcos</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">²θ</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">)dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫12cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(8</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">+4sin</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">²θcos</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">²θ</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">)dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫12cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(8</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">+(2sin</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">θcos</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">θ)</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">²</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">)dθ</span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫12cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(8</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">+(sin2</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">θ</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">²</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">)dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫24cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(16</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">+2sin</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">²(</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">2</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">θ</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">)dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫24cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(16</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">+1-cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">)dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫24cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(17</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">-cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">)dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=24</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(17</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">-cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">)dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">24</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫(-17+cos(4θ)+17)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(17</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">-cos(4θ)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">)dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">24</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫{(-17+cos(4θ)/(17-cos(4θ)+17</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(17</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">-cos(4θ)}</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">24</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫{-1+17</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">/(17</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">-cos(4θ)}</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">dθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=-24∫dθ+24∫17/(17-cos(4θ)) ｄθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=-24∫[0→π]dθ+24×17∫[0→π]1/(17-cos(4θ)) ｄθ</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=-24π+24×17</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">∫[0→π]1/(17-cos(4θ)) ｄθ</span></p><p><br></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">ここで、</span></font></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">∫[0→π]1/(17-cos(4θ)) ｄθ</span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">について、</span></font></p><p><br></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">2θ=ｔ</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">とすると</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">t=0→2π</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">dt=2dθ</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">dθ=(1/2)dt</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">∫[0→π]1/(17-cos(4θ)) ｄθ</span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">=(1/2)</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">∫[0→2π]1/(17-cos(2t)) ｄt</span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">これを複素積分で実行する。</span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">cos(2t)=(1/2){e^(2it)+e^(-2it)}</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">で、</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">z=e^(2it)</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">とする。</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">dz=2ie^(2it)dt=2izdt</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">∴</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">dt=(1/2iz)dz=-i/(2z)dz</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">cos(2t)=(1/2)(z+1/z)</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">(1/2)∫1/(17-cos(2t))dt</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">=(1/2)∮1/(17-(1/2)(z+1/z))(-i/2z)dz</span></font></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">=(i/2)∮1/(z</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">²</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">-34z+1)dz</span></p><p><br></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">|z|=1内の極は、17-12√2</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">だから、これをαとすると、β=17+12√2</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">留数定理より、</span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∮1/(z</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">²</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">-34z+1)dz</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∮1/(z-α)(z-β)</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">dz</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=2πiRes(f,α)</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=2πilim[z→α](z-α)/</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">(z-α)(z-β)</span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">=</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">2πilim[z→α]1/</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">(z-β)</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=2πi/(α-β)</span></p><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=-2πi/(24√2)</span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">=-√2πi/24</span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">よって、</span></font></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">(1/2)∫1/(17-cos(2t))dt</span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">=(i/2)(</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">-√2πi/24)</span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">=√2π/24</span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">だから、</span></font></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;">∫[0→π]1/(17-cos(2t))dt=</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">√2π/24</span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">である。</span></font></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">以上より、</span></font></p><font size="2"><span style="line-height: 15px;">F=</span></font><span style="line-height: 15px; font-size: small;">-24π+24×17</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">∫[0→π]1/(17-cos(4θ)) ｄθ</span><span style="line-height: 15px; font-size: small;">=-24π+(17</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;">√2)π</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span><font size="2"><span style="line-height: 15px;">求める与式は、その(1/2)だから、</span></font><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font><span style="font-size: small; line-height: 15px;">(-24+17√2)π/2</span><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span><p><span style="line-height: 15px; font-size: small;"><br></span></p><p><br></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span></p><p><br></p><p><br></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><span style="font-size: small; line-height: 15px;"><br></span></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><font size="2"><span style="line-height: 15px;"><br></span></font></p><p><br></p><p><br></p>
